Question

已知sin(θ+

π

6

)=

1

3

，θ∈(

π

2

，π)，则sinθ=

 

．

Answer 1

分析：把已知的条件利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，得到关于sinθ和cosθ的关系式记作①，然后根据同角三角函数间的平方关系得到关于关于sinθ和cosθ的另外一个关系式记作②，把①代入②得到关于sinθ的方程，求出方程的解即可得到sinθ的值，然后利用θ的范围，得到符合题意的sinθ的值．

解答：解：由sin（θ+

π

6

）=sinθcos

π

6

+cosθsin

π

6

=

3

2

sinθ+

1

2

cosθ=13，得到cosθ=

3

2

-

3

sinθ①，
又sin²θ+cos²θ=1②，所以把①代入②得：4sin²θ-

4 3

3

sinθ-

5

9

=0，
则sinθ=

3 +2 2

6

或sinθ=

3 -2 2

6

，因为θ∈（

π

2

，π），所以sinθ＞0，故sinθ=

3 -2 2

6

不合题意，舍去，
所以sinθ=

3 +2 2

6

．
故答案为：

3 +2 2

6

．

点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道综合题．学生做题时应注意角的范围．