Question

22.

    已知a₁＝2，点(a_n，a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．

 

(Ⅰ)证明数列{lg(1+a_n)}是等比数列；

 

(Ⅱ)设T_n=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n)，求T_n及数列{a_n}的通项；

 

(Ⅲ)记b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n,并证明S_n+=1.

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知  a_n+1＝a²_n+2a_n，

 

        ∴a_n+1+1＝(a_n+1)²

 

        ∵a₁=2

 

        ∴a_n+1＞1，两边取对数得：                                                       

 

        lg(1+a_n+1)=2 lg(1+a_n)，

 

        即

 

        ∴{lg(1+a_n)}是公比为2的等比数列.

 

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知  lg(1+a_n)=2^n-1·lg(1+a₁)

 

                          =2^n-1·lg³

 

                          =lg3

 

        ∴1+a_n＝3.              (*)

        ∴T_n=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n)

           =3·3·3·…·3

           =

           =3

        由(*)式得an＝3-1．

 

  (Ⅲ)∵a_n+1=a²_n+2a_n

 

      ∴a_n+1=a_n(a_n+2)

 

      ∴

 

      ∴

 

      又  b_n=

 

      ∴b_n=2()

 

      ∴S_n=b₁+b₂+…+b_n

 

          =2

      =2()

 

      ∵a_n=3-1，    a₁＝2，    a_n+1=3-1

 

      ∴S_n＝1-

 

      又T_n＝

 

      ∴S_n+