Question

已知a₁＝2，点(a_n，a_n+1)在函数f(x)＝x²＋2x的图象上，其中n＝1，2，3，…．

(1)求证：数列{lg(1＋a_n)}是等比数列；

(2)设T_n＝(1＋a₁)(1＋a₂)…(1＋a_n)，求T_n及数列{a_n}的通项；

(3)记，求数列{b_n}的前n项和S_n，并证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：由已知，得an+1＝an2＋2an， 　　∴an+1＋1＝(an＋1)2．① 　　∵a1＝2，∴an＋1＞1．将①式两边取对数，得 　　lg(1＋an+1)＝2lg(1＋an)，即． 　　lg(1＋a1)＝lg(1＋2)＝lg3． 　　∴{lg(1＋an)}是公比为2的等比数列． 　　(2)解：由(1)，知lg(1＋an)＝2n－1lg3＝lg32n－1， 　　∴1＋an＝32n－1② 　　∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝320×321×322×…×32n－1＝31+2+22＋…＋2n－1＝32n－1． 　　由②式，得an＝32n－1－1． 　　(3)证明：∵an+1＝an2＋2an，∴an+1＝an(an＋2)． 　　∴． 　　∴． 　　又， 　　∴． 　　∴． 　　∵an＝32n－1－1，a1＝2，an+1＝32n－1， 　　∴． 　　又Tn＝32n－1，∴． 　　思路分析：(1)主要根据已知条件找出相邻两项之间的关系，然后再证明；(2)要先求出数列an的通项公式；(3)在解题过程中恰当利用裂项相消可减少运算．