Question

【题目】

如图，在直三棱柱中，平面侧面A1ABB1．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析．

（Ⅱ），证明见解析．

【解析】

（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B，得

AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，所以AD⊥BC．

因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．

又AA1AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，

是二面角A1—BC—A的平面角，即

于是在中，在中，，

由，得，又，所以．

解法2：由（1）知，以点为坐标原点，以、、所在的直线分轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

则，

于是，．

设平面的一个法向量为，则

由得

可取，于是与的夹角为锐角，则与互为余角．

所以，，

所以．

于是由，得，

即，又所以．

第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形．若用向量方法，关键在求法向量．