Question

设函数f（x）=lg

x

2-x

，若f（a）+f（b）=0，则

3

a

+

1

b

最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：利用已知条件求出ab关系，利用“1”的代换通过基本不等式求出表达式的最小值即可．

解答： 解：函数f（x）=lg

x

2-x

，（0＜x＜2），若f（a）+f（b）=0，
∴lg

a

2-a

+lg

b

2-b

=0，
∴ab=（2-a）（2-b），
∴a+b=2，
（

3

a

+

1

b

）•

1

2

(a+b)=

1

2

(4+

3b

a

+

a

b

)≥

1

2

(4+2

3

)=2+

3

，当且仅当3b²=a²，a+b=2时取等号．
故答案为：2+

3

．

点评：本题考查基本不等式求法表达式的最小值，对数的运算性质，考查计算能力．