Question

已知两点、分别在直线和上运动，且，动点满足(为坐标原点)，点的轨迹记为曲线.

(1) 求曲线的方程；

(2) 过曲线上任意一点作它的切线，与椭圆交于M、N两点，         求证：为定值.

Answer 1

【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆、椭圆的相关知识.

【试题解析】解：⑴(方法一)设

∵，∴是线段的中点，∴　　　　    (2分)

∵，∴，∴.

∴化简得点的轨迹的方程为.                                         (5分)

(方法二)∵，∴为线段的中点. 　　　　　　　　  　(2分)

∵、分别在直线和上，∴.

又，∴，∴点在以原点为圆心，为半径的圆上.

∴点的轨迹的方程为.                                                     (5分)

       ⑵证明：当直线l的斜率存在时，设l y＝kx＋m，

∵l与C相切，∴＝，∴.

联立，∴.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1·x2＝，.　　　　  　　(8分)

∴·＝x1x2＋y1y2＝.

又，∴·＝0.　　　　　　　　　　　　　　　　   (10分)

当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝±，带入椭圆方程得

M(，)，N(，－) 或 M(－，)，N(－，－)，

此时，·＝－＝0.

综上所述，·为定值0.                                       (12分)