Question

已知两点和分别在直线和上运动，且，动点满足：为坐标原点），点的轨迹记为曲线

   （1）求曲线的方程，并讨论曲线的类型；

   （2）过点（0，1）作直线与曲线。交于不同的两点、，若对于任意，都有为锐角，求直线的斜率的取值范围。

Answer 1

(Ⅰ)  当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示圆。

   (Ⅱ)  

解析:

（1）甲得是的中点

设依题意得:

消去，整理得

当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程表示圆。

（Ⅱ）由，焦点在轴上的椭圆，直线与曲线恒有两交点，

因为直线斜率不存在时不符合题意，

可设直线的方程为 ，直线与椭圆的交点为

，

要使为锐角，则有

即，可得，对于任意恒成立

而。

所以满足条件的的取值范围是