Question

(本小题满分12分) 已知两点和分别在直线和上运动，且，动点满足： (为坐标原点)，点的轨迹记为曲线． (Ⅰ)求曲线的方程，并讨论曲线的类型； (Ⅱ)过点作直线与曲线交于不同的两点、，若对于任意，都有为锐角，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ) 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示圆．    (Ⅱ)   

解析:

（I）由，得是的中点. …………………2分

设依题意得:

消去，整理得．…………………4分

当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

当时，方程表示圆．……………5分

（II）由，焦点在轴上的椭圆，直线与曲线恒有两交点，

因为直线斜率不存在时不符合题意,

可设直线的方程为，直线与椭圆的交点为.

…………………7分

  

要使为锐角，则有…………………9分

即，

可得，对于任意恒成立.而，

所以满足条件的的取值范围是.…………………12分