Question

已知函数f（x）=（2cos²x-1）sin2x+

1

2

cos4x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若a∈（

π

2

，π），且f（α）=

2

2

，求α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（ I）由三角函数公式化简可得f（x）=

2

2

sin（4x+

π

4

），由2kπ-

π

2

≤4x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可得函数f（x）的增区间；
（ II）由条件可得sin（4α+

π

4

）=1，由α的范围可得4α+

π

4

=

5π

2

，可得答案．

解答： 解：（ I）∵f（x）=（2cos²x-1）sin2x+

1

2

cos4x
=cos2xsin2x+

1

2

cos4x=

1

2

（sin4x+cos4x）
=

2

2

sin（4x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤4x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可得

kπ

2

-

3π

16

≤x≤

kπ

2

+

π

16

，
∴函数f（x）的增区间为：[

kπ

2

-

3π

16

，

kπ

2

+

π

16

]，k∈Z
（ II）∵f（α）=

2

2

，∴sin（4α+

π

4

）=1，
∵a∈（

π

2

，π），∴4α+

π

4

∈（

9π

4

，

17π

4

），
∴4α+

π

4

=

5π

2

，解得α=

9π

16

点评：本题考查三角函数公式的应用，涉及三角函数的单调性，属基础题．