题目内容

若A（-4，2），B（6，-4），C（12，6），D（2，12），则下面四个结论：①AB∥CD，②AB⊥CD，③AC∥BD，④AC⊥BD．其中正确的序号是________．

①④
分析：根据向量的坐标运算，分别算出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐标，由此得到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是相反向量，可得AB∥CD．并且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，可得 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，所以AC⊥BD．由此即可得到本题的答案．
解答：∵A（-4，2），B（6，-4），∴ $\text{[math]}$ =（10，-6）
同理可得 $\text{[math]}$ =（-10，6）， $\text{[math]}$ =（16，4）， $\text{[math]}$ =（-4，16）
∵ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，∴向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是相反向量，可得AB∥CD，①正确；
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（16，4）•（-4，16）=16×（-4）+4×16=0
∴ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，可得AC⊥BD，④正确
由以上的分析，可得①④正确，而②③与①④矛盾故不正确
故答案为：①④
点评：本题给出直角坐标系内的四个点，求它们构成的线段之间的位置关系．着重考查了利用向量数量积判断垂直或平行的位置关系的知识，属于基础题．