Question

13．已知a＞0，设命题p：函数y=a^x在R上单调递减，命题q：对任意实数x都有x²-3ax+1＞0恒成立；若p和q中有且只有一个命题为真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：若函数y=a^x在R上单调递减，则0＜a＜1，
故p为真时：0＜a＜1；
若对任意实数x都有x²-3ax+1＞0恒成立，
则△=9a²-4＜0，解得：0＜a＜$\frac{2}{3}$，
故q为真时：0＜a＜$\frac{2}{3}$，
若p和q中有且只有一个命题为真命题，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≥\frac{2}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{0＜a＜\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}$≤a＜1．

点评 本题考查了复合命题的判定，考查指数函数以及二次函数的性质，是一道中档题．