Question

椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．

（1）求椭圆T的离心率；

（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：++为定值．

　

Answer 1

解答： （1）解：设椭圆T的方程为，

由题意知：左焦点为F′（﹣2，0），∴2a=|EF|+|EF′|=，

解得：．

故椭圆T的离心率为；

（2）证明：由（1）知椭圆T的方程为．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），

M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），

由：，，两式相减，得到

（x₁﹣x₂）（x₁+x₂）+2（y₁﹣y₂）（y₁+y₂）=0．

∴，即，

同理，．

∴，

又∵直线OM、ON、OP的斜率之和为0，

∴++=0为定值．