Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论的零点情况；

（2）当时，记在上的最小值为m，求证：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析

【解析】

(1)必有一个零点，可通过分析的零点得到的零点情况；

(2)对求导，分析导函数中的正负情况，得到的单调性，由此可计算出的表示，再次构造关于的新函数求解出的范围即可.

（1）的定义域为.令，则.分情况讨论：

①当时，，则，.

所以在上有三个零点，分别为，和1.

②当时，，

所以在上有两个零点，分别为.

③当时，，所以，对，恒成立.

从而，在上有一个零点1.

综上所述：当时，有三个零点：，和1；

当时，有两个零点：，；当时，有一个零点为：；

（2）当时，，定义域为.

则.

当时，，令，.

所以在上单调递增.∵，，

由零点存在性定理，存在，使得，即

故当时，；当时，.

∴在上单调递减，在上单调递增.

所以，.

令，则.

所以在上单调递减.故，而，，

从而，即.