Question

【题目】已知函数f（x）的定义域I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上为增函数，且x1，x2∈I，恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）．

（1）求证：f（x）是偶函数：

（2）若f（m）﹣f（2m+1）＜3m2+4m+1，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）利用偶函数的定义直接证明；（2）通过对函数的自变量的取值的任意性，利用赋值法借助于奇偶性，单调性得到关于的不等式．

（1）因为，恒有，

所以令，得，所以.

令，得，所以.

令，得，

所以是偶函数.

（2）设，则是偶函数，且在上为增函数.

，即，

即.

由是偶函数，得，

由在上为增函数，得|m|＜|2m+1|，即.

解得或.又，

所以实数的取值范围是.