题目内容
已知f（x）=lgx：
（1）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式，如从f（x）=lgx可抽象出性质：f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．
对于下面两个具体函数，试分别抽象出一个与上面类似的性质：
由h（x）=2x可抽象出性质为
由φ（x）=3x+1可抽象出性质为
（2）g（x）=f（x2+6x+4）-f（x），求g（x）的最小值．
（1）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式，如从f（x）=lgx可抽象出性质：f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．
对于下面两个具体函数，试分别抽象出一个与上面类似的性质：
由h（x）=2x可抽象出性质为
h（x1+x2）=h（x1）•h（x2）
h（x1+x2）=h（x1）•h（x2）
，由φ（x）=3x+1可抽象出性质为
φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）
φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）
．（2）g（x）=f（x2+6x+4）-f（x），求g（x）的最小值．
分析：（1）根据对数函数的性质可得h（x）满足h（x1+x2）=h（x1）•h（x2），根据一次函数的性质可得φ（x）满足φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）
（2）由已知中f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），求出函数g（x）的解析式，并分析函数的单调性，进而可得函数的最值．
（2）由已知中f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），求出函数g（x）的解析式，并分析函数的单调性，进而可得函数的最值．
解答：解：（1）h（x）满足h（x1+x2）=h（x1）•h（x2）------------------（2分）
φ（x）满足φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）----------------（4分）
故答案为：h（x1+x2）=h（x1）•h（x2），φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）（答案不唯一）
（2）g（x）=f（x2+6x+4）-f（x）=lg（x2+6x+4）-lgx
=lg
=lg(x+
+6)，x＞0-------------------（5分）
令h(x)=x+
，x＞0，
任取0＜x1＜x2，
h(x1)-h(x2)=(x1+
)-(x2+
)=
当0＜x1＜x2≤2时，h（x1）-h（x2）＞0，h（x1）＞h（x2），
当2≤x1＜x2时，h（x1）-h（x2）＜0，h（x1）＜h（x2），
h（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，--------------（8分）
故当x=2时，hmin（x）=4，这时gmin（x）=1．------------------（10分）
φ（x）满足φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）----------------（4分）
故答案为：h（x1+x2）=h（x1）•h（x2），φ（x1+x2）=φ（x1）+φ（x2）（答案不唯一）
（2）g（x）=f（x2+6x+4）-f（x）=lg（x2+6x+4）-lgx
=lg
| x2+6x+4 |
| x |
| 4 |
| x |
令h(x)=x+
| 4 |
| x |
任取0＜x1＜x2，
h(x1)-h(x2)=(x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
当0＜x1＜x2≤2时，h（x1）-h（x2）＞0，h（x1）＞h（x2），
当2≤x1＜x2时，h（x1）-h（x2）＜0，h（x1）＜h（x2），
h（x）在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，--------------（8分）
故当x=2时，hmin（x）=4，这时gmin（x）=1．------------------（10分）
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，其中（1）的结论是解答抽象函数时，将“抽象”化为“具体”的常用结论，请注意总结．
练习册系列答案
互动英语系列答案
相关题目