Question

向量

OA

=（λ，5），

OBn

=（n（

2

3

n），0）（n∈N^*），

OCm

=（0，m）（m∈N^*），an=

OA

•

OBn

，b_m=|

OA

-

OCm

|²，λ＞0．
（1）当λ=1时，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）对任意的n，m∈N^*，总有bm-an＞

1

9

成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定数列{a_n}的通项，利用错位相减法，即可求前n项和S_n；
（2）对任意的n，m∈N^*，总有bm-an＞

1

9

成立，则(bm)min-(an)max＞

1

9

，由此可求λ的取值范围．

解答：解：（1）当λ=1时，an=

OA

•

OBn

=n(

2

3

)n，(n∈N*)．则Sn=

2

3

+2•(

2

3

)2+3•(

2

3

)3+…+(n-1)•(

2

3

)n-1+n(

2

3

)n
又

2

3

Sn=(

2

3

)2+2•(

2

3

)3+3•(

2

3

)4+…+(n-1)•(

2

3

)n+n(

2

3

)n+1
两式相减得

1

3

Sn=

2

3

+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1=

2 3 -( 2 3 )n+1

1- 2 3

-n(

2

3

)n+1=2-(3+n)(

2

3

)n+1
所以Sn=6-(9+3n)(

2

3

)n+1．    …（6分）
（2）bm=|

OA

-

OCm

|2=λ2+(m-5)2，(λ＞0，m∈N*)，
∴当m=5时，(bm)min=λ2，…（8分）
an=

OA

•

OBn

=λn(

2

3

)n，(λ＞0，n∈N*)
由

an+1

an

=

λ(n+1)( 2 3 )n+1

λn( 2 3 )n

=

2(n+1)

3n

≥1可得n≤2，所以a₁＜a₂=a₃＞a₄＞a₅＞…
故有(an)max=a2=a3=

8λ

9

，(λ＞0)…（10分）
对任意的n，m∈N^*，总有bm-an＞

1

9

成立，
则(bm)min-(an)max＞

1

9

，
∴λ2-

8

9

λ＞

1

9

，∴λ＜-

1

9

或λ＞1
因为λ＞0，所以λ的取值范围为（1，+∞）．…（12分）

点评：本题考查数列的求和，考查恒成立问题，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．