Question

已知向量

OA

=(cosα，sinα)，0＜α＜

π

2

．向量

m

=（2，1），

n

=(0，

5

)，且

m

⊥(

OA

-

n

）．
（1）求向量

OA

；
（2）若sin(β+

π

2

)=

2

10

，0＜β＜π，求2α+β的值．

Answer 1

分析：（1）先求出

OA

  -

n

=（cosα，sinα-

5

），再由

m

⊥(

OA

-

n

） 得到

m

•(

OA

-

n

)=0，即2cosα+sinα-

5

=0，从而得到答案．
（2）根据（1）中cosα=

2 5

5

，sinα=

5

5

先缩小角α的范围，再由sin(β+

π

2

)=

2

10

=cosβ和0＜β＜π，可知0＜β＜

π

2

所以sinβ=

7 2

10

，最后由两角和的余弦公式算出cos（2α+β）的值，得到答案．

解答：解：由题意可知

OA

  -

n

=（cosα，sinα-

5

）
∵

m

⊥(

OA

-

n

）∴

m

•(

OA

-

n

)=0∴2cosα+sinα-

5

=0
又因为sin²α+cos²α=1，0＜α＜

π

2

所以cosα=

2 5

5

，sinα=

5

5

OA

=(

2 5

5

，

5

5

)
（2）∵sin(β+

π

2

)=

2

10

=cosβ，又因为0＜β＜π，∴0＜β＜

π

2

所以sinβ=

7 2

10

∵cosα=

2 5

5

，sinα=

5

5

∴0＜α＜

π

4

∴0＜2α＜

π

2

∴sin2α=

4

5

，cos2α=

3

5

0＜2α+β＜π
∵cos（2α+β）=cos2αcosβ-sin2αsinβ=

3

5

×

2

10

-

4

5

×

7 2

10

=-

2

2

∴2α+β=

3π

4

点评：本题主要考查两向量互相垂直和两向量点乘之间的关系，即两向量互相垂直等价于两向量点乘等于0．