Question

已知sinβ=msin（2α+β）（m≠1），求证：tan（α+β）=

1+m

1-m

tanα．

Answer 1

分析：本题特别注意角的变换，把β化为（α+β）-α，把2α+β化为（α+β）+α，应用两角和与差的正弦公式展开，移项整理，最后用到弦化切，在等式两边同除余弦的乘积，得到结果．

解答：证明：∵sinβ=msin（2α+β），
∴sin[（α+β）-α]=msin[（α+β）+α]．
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=msin（α+β）cosα+mcos（α+β）sinα．
∴（1-m）sin（α+β）cosα
=（1+m）cos（α+β）sinα．
∴tan（α+β）=

1+m

1-m

tanα．

点评：证明三角恒等式的过程，实际是化异为同的过程，一般情况有以下方法：（1）从最复杂的一边开始化简，得到简单的一边．（2）证左右两边等于一个相同的式子．（3）用分析法．本题是条件恒等式的证明，解题时要从已知条件入手，找已知条件和要证结论之间的内在联系．