Question

6．已知数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=1，${a_{n+2}}=\frac{1}{{{a_n}+1}}$，a₁₀₀=a₉₆，则a₂₀₁₆+a₃=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 a₁=1，${a_{n+2}}=\frac{1}{{{a_n}+1}}$，可得a₃=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$．由于a₁₀₀=a₉₆，${a}_{100}=\frac{1}{{a}_{98}+1}$，a₉₈=$\frac{1}{{a}_{96}+1}$，化为${a}_{100}=\frac{{a}_{100}+1}{{a}_{100}+2}$，a_n＞0，解得${a}_{100}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得a₁₀₀=a₁₀₀₄=…=a_100+4×479=a₂₀₁₆，即可得出．

解答 解：∵a₁=1，${a_{n+2}}=\frac{1}{{{a_n}+1}}$，∴a₃=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{2}$．
∵a₁₀₀=a₉₆，${a}_{100}=\frac{1}{{a}_{98}+1}$，a₉₈=$\frac{1}{{a}_{96}+1}$，化为${a}_{100}=\frac{{a}_{96}+1}{{a}_{96}+2}$，即${a}_{100}=\frac{{a}_{100}+1}{{a}_{100}+2}$，a_n＞0，解得${a}_{100}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴a₁₀₀=a₁₀₀₄=…=a_100+4×479=a₂₀₁₆=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴a₂₀₁₆+a₃=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．