Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²＝2x相交于A、B两点．

(1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么＝3”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

 (1)证明：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y²＝2x于点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，)、B(3，－)．

∴＝3.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.

由得ky²－2y－6k＝0，则y₁y₂＝－6.

又∵x₁＝y，x₂＝y，

∴＝x₁x₂＋y₁y₂

＝(y₁y₂)²＋y₁y₂＝3.

综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么＝3”是真命题．

(2)逆命题是：设直线l交抛物线y²＝2x于A、B两点，如果＝3，那么直线过点T(3,0)．

该命题是假命题．

例如：取抛物线上的点A(2,2)，，

直线AB的方程为y＝(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．