Question

12．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=4a_n+3，a₁=1．
（1）设b_n=log₂（a_n+1），求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）设c_n=$\sqrt{2（{a}_{n}+1）}$•b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）根据a_n+1=4a_n+3，构造等比数列，求得足a_n，即可求得b_n的通项公式，由通项公式可证明数列{b_n}是等差数列；
（2）确定数列{c_n}的通项，利用错位相减法，即可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 （1）证明：a_n+1=4a_n+3，
∴a_n+1+1=4（a_n+1），a₁=1，a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a_n+1=2•4^n-1，
a_n=2•4^n-1-1，
b_n=log₂（a_n+1）=log₂2•4^n-1=log₂2^2n-1=2n-1，
∴b_n=2n-1，
∴数列{b_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列；
（2）解：c_n=$\sqrt{2（{a}_{n}+1）}$•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴两式相减：-T_n=2+2•2²+2•2³+2•2⁴+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺²-2-4-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2ⁿ⁺¹（2n-3）+6．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查错位相减法，属于中档题．