Question

【题目】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．

（Ⅰ）求函数在R上的解析式；

（Ⅱ）若，函数，是否存在实数m使得的最小值为，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在实数使得的最小值为．

【解析】

Ⅰ根据奇函数的对称性进行转化求解即可．

Ⅱ求出的表达式，利用换元法转化为一元二次函数，通过讨论对称轴与区间的关系，判断最小值是否满足条件即可．

Ⅰ若，则，

∵当时，且是奇函数，

∴当时，，

即当时，，

则．

Ⅱ若，

，

设，∵，∴，

则等价为，

对称轴为，

若，即时，在上为增函数，此时当时，最小，

即，即成立，

若，即时，在上为减函数，此时当时，最小，

即，此时不成立，

若，即时，在上不单调，此时当时，最小，

即，

此时在时是减函数，当时取得最小值为，即此时不满足条件．

综上只有当才满足条件．

即存在存在实数使得的最小值为．