Question

5．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，则λ+μ的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2），根据$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．

解答 解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{1}{2}$BD•r，
∴r=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=$\frac{4}{5}$，
设点P的坐标为（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，
∴（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1=λ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵-1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A

点评 本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．