Question

6．若方程ax²+3x+4a=0的根都小于1，则实数a的取值范围是[0，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 分当a=0时、当a＞0时、当a＜0时三种情况，分别利用二次函数的性质求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答 解：当a=0时，方程即3x=0，求得 x=0，满足条件．
当a＞0时，设f（x）=ax²+3x+4a，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=9-1{6a}^{2}≥0}\\{-\frac{3}{2a}＜1}\\{f（1）=3+5a＞0}\end{array}\right.$，求得0＜a≤$\frac{3}{4}$．
当a＜0时，设g（x）=ax²+3x+4a，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{△=9-1{6a}^{2}≥0}\\{-\frac{3}{2a}＜1}\\{g（1）=3+5a＜0}\end{array}\right.$，求得a∈∅．
综上可得，a的范围为[0，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．