Question

平行四边形中，，，，以为折线，把折起，使平面平面，连结.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角B AC D的大小是．

试题分析：（Ⅰ）这是一个折叠问题，做这一类题需比较折叠前的图形，与折叠后的图形，观察那些元素位置关系没发生变化，那些边角关系发生变化，本题证明：，证明两线垂直，只需证明一线垂直另一线所在的平面，有原图易证，且平面平面，有面面垂直的性质可得面，从而可得；（Ⅱ）求二面角的大小，可用向量法求，需建立空间坐标，注意到，且平面平面，可以Ｄ为坐标原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立空间直角坐标系，分别设平面ABC与平面DAC的法向量，分别计算出它们的法向量，利用法向量来求出二面角B AC D的大小．
试题解析：（Ⅰ）在中，   3分   
易得，  4分
面面   面          6分
（Ⅱ）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.

则D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）
设平面ABC的法向量为，而，
由得：，取 .     8分
再设平面DAC的法向量为，而，
由得：，取，     10分
所以，所以二面角B AC D的大小是   12分