Question

设M是由满足下列两个条件的函数构成的集合：
①议程有实根；②函数的导数满足0<<1.
（I）若，判断方程的根的个数；
（II）判断（I）中的函数是否为集合M的元素；
（III）对于M中的任意函数，设x₁是方程的实根，求证：对于定义域中任意的x₂，x₃，当| x₂－x₁|<1，且| x₃－x₁|<1时，有

Answer 1

（1）唯一 （2）是

（I）令
则
是单调递减函数.
又取
在其定义域上有唯一实根.
（II）由（I）知方程有实根（或者由，易知x=0就是方程的一个根），满足条件①.

满足条件②.故是集合M中的元素.
（III）不妨设在其定义域上是增函数.

是其定义域上的减函数.
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