Question

已知函数f（x）=x³-3|x-a|+λ•sin（π•x），其中a，λ∈R；
（1）当a=0时，求f（1）的值并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当a=0时，若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线经过坐标原点，求λ的值；
（3）当λ=0时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）把所给的a的值代入，要证函数的即偶性，验证x取1和-1时的值，结果不相等，得到函数是一个非奇非偶函数．
（2）对函数求导，写出函数在x=1处的切线方程为y+2=-λπ（x-1），因为过原点，把（0，0）代入求出λ的值．
（3）写出函数的解析式，对于a的不同值，针对于函数求导，得到函数的单调性和最值，把最小值进行比较得到函数式的最小值．

解答：解：（1）a=0时f（x）=x³-3|x|+λ•sin（π•x）
f（-1）=-4，f（1）=-2，
所以f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
所以f（x）时非奇非偶函数
（2）x＞0时，f（x）=x³-3x+λsin（πx），所以f'（x）=3x²-3+λπcos（πx）
所以在x=1处的切线方程为y+2=-λπ（x-1）
因为过原点，所以λ=

2

π

（3）当a≤0时，x∈[0，2]上f（x）=x³-3x+3a，f'（x）=3x²-3，
所以f（x）在[0，1]内单调递减，[1，2]递增，所以y_min=f（1）=3a-2
当a≥2时，x∈[0，2]上f（x）=x³+3x-3a，f'（x）=3x²+3＞0，
所以f（x）单调递增，y_min=f（0）=-3a
当0＜a＜2时，f(x)=

x3+3x-3a(0≤x≤a) x3-3x+3a(a≤x≤2)

，
当0≤x≤a时，f'（x）=3x²+3＞0，所以f（x）单调递增，y_min=f（0）=-3a
当a≤x≤2时，因f'（x）=3x²-3，所以f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上递增，所以若0＜a≤1，
则y_min=f（1）=3a-2，当1＜a＜2时y_min=f（a）=a³
而0＜a≤1时 3a-2-（-3a）=6a-2，
所以，x∈[0，2]时ymin=

f(0)=-3a 1 3 ＜a≤1 f(1)=3a-2，0＜a≤ 1 3

同样1＜a＜2，因a³＞-3a，所以y_min=f（0）=-3a
综上：a≤

1

3

时，y_min=f（1）=3a-2a＞

1

3

时，y_min=f（0）=-3a

点评：本题考查函数的性质和导函数的应用，本题解题的关键是针对于函数式中的参数进行讨论，在不同的取值范围中，需要求解函数的不同的结果．