Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为．

（Ⅰ）设侧面与的交线为，求证：；

（Ⅱ）设底边与侧面所成角的为，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）通过得到侧面，再通过线面平行性质定理可得结论；（2）取中点、中点，连、，根据二面角定义可得，以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据 可得结果.

试题解析：（1）因为，所以侧面．

又因为侧面与的交线为，所以．

（2）

取中点、中点，连、，

则、．

所以是侧面与底面成二面角的平面角．

从而．

作于，则底面．

因为，，

所以，．

以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系．

则，，．

设是平面的法向量，

则 ，．取．

则 ．