Question

函数f（x）=2^x，对x₁，x₂∈R⁺，x₁≠x₂，α=

x1+λx2

1+λ

，β=

x2+λx1

1+λ

（λ＞1），比较大小：f（α）+f（β）

 

f（x₁）+f（x₂）．

Answer 1

分析：由题意可得f^'（x）=2^xln2，f^''（x）=（ln2）²2^x＞0，从而f（x）为严格下凸函数
而f(α)=f(

x1+λx2

1+λ

)=f(

x1

1+λ

+

λx2

1+λ

)＜

f(x1)

1+λ

+

λf(x2)

1+λ

，f(β)=f(

x2+λx1

1+λ

)=f(

x2

1+λ

+

λx1

1+λ

)＜

f(x2)

1+λ

+

λf(x1)

1+λ

，从而可得

解答：解：由题意可得f^'（x）=2^xln2，f^''（x）=（ln2）²2^x＞0

从而f（x）为严格下凸函数 因此f(α)=f(

x1+λx2

1+λ

)=f(

x1

1+λ

+

λx2

1+λ

)＜

f(x1)

1+λ

+

λf(x2)

1+λ

同理f(β)=f(

x2+λx1

1+λ

)=f(

x2

1+λ

+

λx1

1+λ

)＜

f(x2)

1+λ

+

λf(x1)

1+λ

则f（α）+f（β）＜

f(x1)+f(x2)

1+λ

+

λ

1+λ

[f（x₁）+f（x₂）]=f（x₁）+f（x₂）




故答案为：＜

点评：本题主要考查了利用指数函数的单调性比较代数式的大小，解题中要注意下凸函数性质的应用．