Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

，对任意m∈[-3，3]，不等式f（mx-1）+f（2x）＜0恒成立，则实数x的取值范围为（　　）

• A．（-1，

  1

  5

  ）
• B．（-2，

  2

  3

  ）
• C．（-2，

  1

  3

  ）
• D．（-2，

  1

  5

  ）

Answer 1

分析：先判断函数f（x）的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性将不等式进行转化，即可求出x的取值范围．

解答：解：函数f（x）的定义域为R，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴函数f（x）是奇函数．
又f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵函数y=2^x+1在R上单调递增，且y＞0，
∴y=

2

2x+1

在R上单调递减，y=-

2

2x+1

在R上单调递增，
即函数f（x）在R上单调递增．
由f（mx-1）+f（2x）＜0得f（mx-1）＜-f（2x）=f（-2x），
∴mx-1＜-2x，
即mx+2x-1＜0，
设g（m）=mx+2x-1，
∵m∈[-3，3]，
∴满足

g(3)＜0 g(-3)＜0

，
即

5x-1＜0 -x-1＜0

，
∴

x＜ 1 5 x＞-1

，即-1＜x＜

1

5

．
故选：A．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断以及应用，综合性较强，考查学生的转化意识．