Question

已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明函数在区间上为增函数；
（3）若函数在区间上的最大值与最小值之和不小于，求的取值范围.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）[4,+∞).

试题分析：（1）利用奇偶性定义可证；（2）利用单调性定义可证；（3）在单调递增区间内，由题意可得关于的不等式，解不等式即可.
试题解析：
解：（1）函数是奇函数，              1分
∵函数的定义域为，在轴上关于原点对称，    2分
且，                 3分
∴函数是奇函数.              4分
（2）证明：设任意实数，且，         5分
则，     6分
∵ ∴，        7分
∴<0 ，    8分
∴<0,即，           9分
∴函数在区间上为增函数.           10分
（3）∵，
∴函数在区间上也为增函数.                  11分
∴，         12分
若函数在区间上的最大值与最小值之和不小于，
则，            13分
∴，
∴的取值范围是[4,+∞).               14分