Question

（2004•朝阳区一模）已知f（x）=log

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x+3的反函数为f^-1（x），则使f^-1（x）＜x-2成立的x的取值范围是

（3，+∞）

．

Answer 1

分析：由y=log

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x+3，（x＞0），解得x=(

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)y-3，再将x与y互换得到y=2^3-x，即可得到f（x）=log

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x+3的反函数为f^-1（x）=2^3-x（x∈R）．令g（x）=2^3-x-x+2，由指数函数及复合函数的单调性判断方法、一次函数的单调性可得g（x）=2^3-x-x+2在R上单调递减，又g（3）=0，即可得到不等式的取值范围．

解答：解：由y=log

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x+3，（x＞0），解得x=(

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)y-3，将x与y互换得到y=2^3-x，
∴f（x）=log

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x+3的反函数为f^-1（x）=2^3-x（x∈R）．
由f^-1（x）＜x-2，即2^3-x＜x-2．
令g（x）=2^3-x-x+2，
由指数函数及复合函数的单调性判断方法可知：y=2^3-x在R上单调递减，
由一次函数的单调性可知：y=-x+2在R上单调递减，
∴g（x）=2^3-x-x+2在R上单调递减，
而g（3）=2⁰-3+2=0，
∴当x＞3时，g（x）＜g（3）=0，即2^3-x＜x-2．
因此使f^-1（x）＜x-2成立的x的取值范围是（3，+∞）．
故答案为（3，+∞）．

点评：熟练掌握反函数的求法、指数函数及复合函数的单调性判断方法、一次函数的单调性是解题的关键．