Question

8．已知x、y满足曲线方程${x^2}+\frac{1}{y^2}=2$，则x²+y²的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 先求出y²的范围，再令y²=t，t≥$\frac{1}{2}$，则f（t）=2+t-$\frac{1}{t}$，根据函数的单调性即可求出范围．

解答 解：${x^2}+\frac{1}{y^2}=2$，则x²+y²=2-$\frac{1}{{y}^{2}}$+y²，
∵${x^2}+\frac{1}{y^2}=2$
∴y²≥$\frac{1}{2}$
设y²=t，t≥$\frac{1}{2}$，
则f（t）=2+t-$\frac{1}{t}$，
∴f′（t）=1+$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在[$\frac{1}{2}$，+∞）为增函数，
∴f（t）≥f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$-2=$\frac{1}{2}$，
故则x²+y²的取值范围是为[$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案为：[$\frac{1}{2}$，+∞）

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于中档题．