Question

已知两平行平面截表面积为100π的球，若截面面积分别为9π，16π，求这两个平面间的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：先根据球的表面积求出球的半径，两个截面圆的面积分别求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的两种情况，最后对每一种情况分别求出两个平行平面的距离即可．

解答： 解：表面积为100π的球，它的半径为：R=5．
设两个截面圆的半径别为r₁，r₂．球心到截面的距离分别为d₁，d₂．
球的半径为R．
由πr₁²=9π，得r₁=3．
由πr₂²=16π，得r₂=4．
如图①所示．当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差．
即d₂-d₁=

R2-r12

-

R2-r22

=

25-9

-

25-16

=4-3=1．
如图②所示．当球的球心在两个平行平面的之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．
即d₂+d₁=

R2-r12

+

R2-r22

=4+3=7．
这两个平面间的距离为：1或7．

点评：本题主要考查两个平行平面间的距离计算问题．此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系以及空间想象能力和计算能力．本题的易错点在于只考虑一种情况，从而漏解．