Question

已知F₁、F₂双曲线的两焦点，O是坐标原点，直线AB过F₁，且垂直于x轴，并与双曲线交于A、B两点，若AO⊥BF₂，则双曲线的离心率e=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先由题意得：F₁（-c，0），F₂（c，0），A（-c，），B（-c，-），从而得到直线AO，直线BF₂的斜率，结合AO⊥BF₂，有：k₁k₂=-1，从而建立a与c的关系，最后即可求得双曲线的离心率．
解答：解：由题意得：F₁（-c，0），F₂（c，0），
A（-c，），B（-c，-），
∴直线AO的斜率k₁=，直线BF₂的斜率k₂=，
∵AO⊥BF₂，
∴k₁k₂=-1，即
∴b⁴=2a²c²，又b²=c²-a²，
∴（c²-a²）²=2a²c²，
解之得：=
故选C．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题以及双曲线的简单性质，由双曲线几何性质和AO⊥BF₂，，能够得出b⁴=2a²c²是解题的关键，属于中档题．