Question

已知F₁、F₂双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两焦点，O是坐标原点，直线AB过F₁，且垂直于x轴，并与双曲线交于A、B两点，若AO⊥BF₂，则双曲线的离心率e=（　　）

• A、

  3 + 2

  2

• B、

  3 + 6

  2

• C、

  6 + 2

  2

• D、

  6 - 2

  2

Answer 1

分析：先由题意得：F₁（-c，0），F₂（c，0），A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），从而得到直线AO，直线BF₂的斜率，结合AO⊥BF₂，有：k₁k₂=-1，从而建立a与c的关系，最后即可求得双曲线的离心率．

解答：解：由题意得：F₁（-c，0），F₂（c，0），
A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），
∴直线AO的斜率k₁=

b2 a

-c

=-

b2

ac

，直线BF₂的斜率k₂=

- b2 a

-2c

=

b2

2ac

，
∵AO⊥BF₂，
∴k₁k₂=-1，即-

b2

ac

×

b2

2ac

=-1
∴b⁴=2a²c²，又b²=c²-a²，
∴（c²-a²）²=2a²c²，
解之得：

c

a

=

6 + 2

2

故选C．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题以及双曲线的简单性质，由双曲线几何性质和AO⊥BF₂，，能够得出b⁴=2a²c²是解题的关键，属于中档题．