Question

【题目】已知抛物线，直线（）与交于两点，为的中点，为坐标原点．

（1）求直线斜率的最大值；

（2）若点在直线上，且为等边三角形，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

解法一：（1）设两点坐标，将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式、中点坐标公式求出的坐标，最后根据斜率公式，结合基本不等式进行求解即可；

（2）利用弦长公式求出等边三角形的边长，最后利用等边三角形的性质，得到方程，求解方程即可求出点的坐标．

解法二：（1）设出两点的坐标，根据点在抛物线上，得到两个方程，再利用两点在直线上、中点坐标公式求出的坐标，最后根据斜率公式，结合基本不等式进行求解即可；

（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式、两点间距离公式求出等边三角形的边长，最后利用等边三角形的性质，得到方程，求解方程即可求出点的坐标．

解法一：（1）设，

由，消去得，，

且．

所以

因为为的中点，

所以的坐标为，即，

又因为，所以，

（当且仅当，即等号成立．）

所以的斜率的最大值为；

（2）由（1）知，

，

由得，

因为为等边三角形，所以，

所以，

所以，所以，解得

又，所以，

则，直线的方程为，即，

所以时，，

所以所求的点的坐标为．

解法二：（1）设，

因为为的中点，且直线，

所以因为，，两个等式相减得：

由得

所以所以即．

所以即，

又因为，所以，

（当且仅当，即等号成立．）

所以的斜率的最大值为．

（2）由，消去得，

所以且．

，

由（1）知，的中点的坐标为，

所以线段的垂直平分线方程为：．

令，得线段的垂直平分线与直线交点坐标为

所以．

因为为等边三角形，所以，

所以，

所以，所以，解得

因为所以，

则，直线的方程为，即，

所以时，，

所以所求的点的坐标为．