Question

【题目】设椭圆的左顶点为，右顶点为，已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）记椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．若线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

(1)利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式即可求解.

(2)设直线的方程为，联立方程组设、

，利用韦达定理，即可得出的中点为，然后，利用线段的垂直平分线与轴交于点，即可求解

解：（1）以线段为直径的圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，

直线被圆截的弦长为，解得，

又椭圆的离心率为，所以，

所以，椭圆的方程为

（2）依题意，，直线的方程为．

联立方程组消去并整理得．

，

设、，故，，

设的中点为，则．

因为线段的垂直平分线与轴交于点，

①当时，那么；

②当时，，即．

解得．

因为，所以，，即．

综上，的取值范围为．