Question

【题目】已知函数与（为常数）的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.

（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；

（2）对于函数和公共定义域内的任意实数，我们把的值称为两函数在处的“瞬间距离”.则函数与的所有“瞬间距离”是否都大于2？请加以证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）根据函数的切线平行，利用导数相等可求出c，则原不等式可转化为，只需求的最大值即可（2）由题意=，只需分析其值大于2即可，构造函数可证，构造并证明，利用不等式传递性即可证出.

（1）函数只与轴交于点，只与轴交于点.而，，由得，又由已知显然，故，， .

那么，不等式可化为 （）

令，则，，又，，故，，则在递减，，要使（）有解，则应有.

（2）与的公共定义域为，且=

令，则，在递增，，即 ①

同理，令，则，当时，，递减；当时，，递增.

故，即 ②

由①②知， ，故.

故函数与的所有“瞬间距离”都大于2.