Question

8．求下列函数的值域．
（1）y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$；
（2）y=$\frac{x-1}{x+2}$（x≥-4）；
（3）y=x-2$\sqrt{x}$+3．

Answer 1

分析 （1）显然可看出，0≤4-x²≤4，从而可得出$\sqrt{4-{x}^{2}}$的范围，即得出该函数的值域；
（2）先将原函数变成：$y=1-\frac{3}{x+2}$，然后由x≥-4可得到-2≤x+2＜0，或x+2＞0，从而可求出$\frac{1}{x+2}$的范围，进一步可求出$1-\frac{3}{x+2}$的范围，即求出原函数的值域；
（3）可将原函数变成：$y=（\sqrt{x}）^{2}-2\sqrt{x}+3$，配方后便可求出该函数的值域．

解答 解：（1）0≤4-x²≤4；
∴$0≤\sqrt{4-{x}^{2}}≤2$；
∴该函数的值域为：[0，2]；
（2）$y=\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}$=$1-\frac{3}{x+2}$；
x≥-4；
∴x+2≥-2；
∴-2≤x+2＜0，或x+2＞0；
∴$\frac{1}{x+2}≤-\frac{1}{2}，或\frac{1}{x+2}＞0$；
∴$1-\frac{3}{x+2}≥\frac{5}{2}$，或$1-\frac{3}{x+2}＜1$；
∴该函数的值域为：（-∞，1）∪[$\frac{5}{2}$，+∞）；
（3）$y=x-2\sqrt{x}+3=（\sqrt{x}）^{2}-2\sqrt{x}+3$=$（\sqrt{x}-1）^{2}+2$；
$\sqrt{x}≥0$；
∴$（\sqrt{x}-1）^{2}+2≥2$；
∴该函数的值域为：[2，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，根据不等式的性质求函数值域的方法，以及分离常数在求函数值域中的应用，配方求二次函数值域的方法．