Question

17．已知不等式ax²+bx+1＞0的解集为（-∞，1）∪（3，+∞），不等式x²+bx+a＜0的解集为A，集合B={x||x-t|$≤\frac{1}{2}$，x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若A∩B=∅，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若不等式ax²+bx+1＞0的解集为（-∞，1）∪（3，+∞），则1，3是方程ax²+bx+1=0的两根，利用韦达定理求出a，b，代入不等式x²+bx+a＜0，解得A；
（2）若A∩B=∅，则t-$\frac{1}{2}$≥1，或t+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{3}$，解得实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵不等式ax²+bx+1＞0的解集为（-∞，1）∪（3，+∞），
∴1，3是方程ax²+bx+1=0的两根，
则1+3=4=-$\frac{b}{a}$，1×3=3=$\frac{1}{a}$，
解得：a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{4}{3}$，
则x²+bx+a＜0可化为：x²-$\frac{4}{3}$x+$\frac{1}{3}$＜0，
解得：x∈（$\frac{1}{3}$，1），
故A=（$\frac{1}{3}$，1），
（2）∵B={x||x-t|$≤\frac{1}{2}$，x∈R}=[t-$\frac{1}{2}$，t+$\frac{1}{2}$]，A∩B=∅，
∴t-$\frac{1}{2}$≥1，或t+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{3}$，
解得：t∈（-∞，$-\frac{1}{6}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）

点评 本题考查的知识点是不等式解集端点与对应方程根的关系，二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，难度中档．