Question

甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， (＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

	0	1	2	3

(Ⅰ)求至少有一位学生做对该题的概率；
(Ⅱ)求，的值；
(Ⅲ)求的数学期望.

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ）；(Ⅲ) .

试题分析：(Ⅰ) 至少有一位学生做对该题,它的对立事件是一个也没做对,故可利用对立事件来求；（Ⅱ）根据与列方程求出的值；(Ⅲ)由 的值，可求出，的值，从而求出的数学期望.
试题解析：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知，. 
(Ⅰ)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是；
(Ⅱ)由题意知，，整理得 ，,由，解得；
（Ⅲ）由题意知，
，
所以的数学期望为.