Question

3．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=2，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）在侧棱AA₁上是否存在点P，使得C₁A⊥面BPC？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （I）连结B₁C交BC₁于E，连结DE，利用中位线定理得出DE∥AB₁，故而AB₁∥面BDC₁；
（II）证明C₁A⊥平面A₁BC，故而可知当P与A₁重合时C₁A⊥面BPC．

解答 证明：（I）连结B₁C交BC₁于E，连结DE，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴E是B₁C的中点，又D是AC的中点，
∴DE∥AB₁，又∵DE?平面BDC₁，AB₁?平面BDC₁，
∴AB₁∥面BDC₁．
（II）当P与A₁重合时，C₁A⊥面BPC．
证明如下：
∵AA₁⊥面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，又BC⊥AC，AC∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，∵C₁A?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥C₁A，
∵四边形ACC₁A₁是平行四边形，AC=AA₁=2，
∴四边形ACC₁A₁是菱形，∴C₁A⊥A₁C，
又A₁C∩BC=C，A₁C?平面A₁BC，BC?平面A₁BC，
∴C₁A⊥平面BA₁C．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，属于中档题．