题目内容

已知双曲线C： $数学公式$ 的两个焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），点 $数学公式$ 在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知 Q （0，2），P为双曲线C上的动点，点M满足 $数学公式$ ，求动点M的轨迹方程；
（3）过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，记O为坐标原点，若△OEF的面积为2 $数学公式$ ，求直线l的方程．

解：（1）依题意，由a²+b²=4，
得双曲线方程为 $\text{[math]}$ （0＜a²＜4），
将点（3， $\text{[math]}$ ）代入上式，得 $\text{[math]}$ ．
解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求双曲线方程为 $\text{[math]}$ =1．…（4分）
（2）设M（x，y），
∵点M满足 $\text{[math]}$ ，
∴M为线段PQ的中点，
∵Q （0，2），
∴P（2x，2y-2），…（6分）
把点P（2x，2y-2）代入双曲线方程为 $\text{[math]}$ =1，
得动点M的轨迹方程：2x²-2（y-1）²=1．…．（8分）
（3）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，
代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴k∈（- $\text{[math]}$ ）∪（1， $\text{[math]}$ ）．…（10分）
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则由①式得x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂=- $\text{[math]}$ ，
于是|EF|= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
而原点O到直线l的距离d= $\text{[math]}$ ，
∴S_△OEF= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．…（13分）
若S_△OEF=2 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴k⁴-k²-2=0，
解得k=± $\text{[math]}$ ，
满足②．故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为y= $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．…（16分）
分析：（1）依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为 $\text{[math]}$ （0＜a²＜4），将点（3， $\text{[math]}$ ）代入上式，能求出双曲线方程．
（2）设M（x，y）由题意M为线段PQ的中点，则P（2x，2y-2），由此能得到动点M的轨迹方程．
（3）设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k²）x²-4kx-6=0．直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，所以 $\text{[math]}$ ，由此能求出满足条件的直线l有两条，其方程分别为y= $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是计算量大，容易出错．