Question

【题目】已知椭圆的焦距为，且过点．

（1）求C的方程；

（2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆x2+y2＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2．试判断k1k2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）k1k2为定值．

【解析】

（1）由题意可得关于a，b，c的方程组，求解a，b，c的值，即可得到椭圆的方程；

（2）①当过点P的直线斜率不存在时，直线的方程为x＝±2，求得，②当过P的直线斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，联立直线方程与椭圆方程，由判别式等于0可得m2＝4k2+2，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合斜率公式可得为定值．

（1）由题意，得，

解得.

∴椭圆C的方程为.

（2）k1k2为定值

理由如下：

①当过点P的直线斜率不存在时，直线的方程为x＝±2；

当x＝2时，，则，

当时，，则.

②当过P的直线斜率存在时，设其方程为，

联立，得

由题意，得，

联立，得

则

所以

综上，为定值．