Question

【题目】已知抛物线的方程，焦点为，已知点在上，且点到点的距离比它到轴的距离大1.

（1）试求出抛物线的方程；

（2）若抛物线上存在两动点（在对称轴两侧），满足（为坐标原点），过点作直线交于两点，若，线段上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)存在，且坐标为

【解析】

（1）由到点的距离比它到轴的距离大1，结合抛物线定义可得，从而可得结果；（2）设，结合，可得直线，直线，与联立，利用弦长公式求得若点存在，设点坐标为，可得，时，，从而可得结果.

（1）因为到点的距离比它到轴的距离大1，由题意和抛物线定义，，所以抛物线的方程为，

（2）由题意，，

设由，得，直线，

整理可得，

直线①若斜率存在，设斜率为，与联立得

，

，

若点存在，设点坐标为，

，

时，，

解得或（不是定点，舍去）

则点为经检验，此点满足，所以在线段上，

②若斜率不存在，则，

此时点满足题意，

综合上述，定点为.