Question

【题目】已知函数有两个零点．

（1）求的取值范围；

（2）设，是的两个零点，证明：．

Answer 1

【答案】（1）的取值范围为；（2）证明见详解.

【解析】

（1）求出，然后分、、、四种情况讨论，每种情况下求出的单调性，再结合函数值的符号即可得到答案；

（2）借助（1）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故．

（1）．

①当时，则，只有一个零点．

②当时，则当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

又，，取满足且，

则，

故存在两个零点．

③当时，由得或．

若，则，故当时，，因此在单调递增．

又当时，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；当时，．

因此在单调递减，在单调递增．

又当时，，所以不存在两个零点．

综上，的取值范围为．

（2）不妨设，由（1）知，，

在单调递减，所以要证，即证，即证．

由于，而，

所以．

设，则．

所以当时，，而，故当时，．

从而，故．