题目内容
已知直线l：x=-2，l与x轴交于点A，动点M（x，y）到直线l的距离比到点F（1，0）的距离大1．
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点A作直线交曲线E于B，C两点，若
=2
，求此直线的方程．
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点A作直线交曲线E于B，C两点，若
| AB |
| BC |
分析：（Ⅰ）依题意，动点M（x，y）到直线x=-1和点N（1，0）的距离相等，可得等式，进而整理方程可得点M的轨迹E的方程为y2=4x．
（Ⅱ）设B（x1，y1）C（x2，y2），表示出向量的等式
=2
得，y1=2（y2-y1），即
=
，所以
=
，联立直线与椭圆的方程并且结合根与系数的关系可得y=x1+x2=
，x1x2=4，即可得到k2=
，进而求出直线方程．
（Ⅱ）设B（x1，y1）C（x2，y2），表示出向量的等式
| AB |
| BC |
| y2 |
| y1 |
| 3 |
| 2 |
| x2 |
| x1 |
| 9 |
| 4 |
| 4-4k2 |
| k2 |
| 12 |
| 25 |
解答：解：（Ⅰ）依题意，动点M（x，y）到直线x=-1和点N（1，0）的距离相等，
所以
=|x+1|，
即y2=4x．
所以点M的轨迹E的方程y2=4x．
（Ⅱ）设B（x1，y1）C（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，
所以
=(x1+2，y1)，
=(x2-x1，y2-y1)．
由
=2
得，y1=2（y2-y1），即
=
，所以
=
…①
设直线AB的方程为y=k（x+2），（k≠0），
消去y，得k2x2+4（k2-1）x+4k2=0，
由根与系数的关系得：x1+x2=
…②
x1x2=4…③
由①、③得，x1=
，x2=3，代入②，得k2=
，
所以k=±
．
所以所求直线方程为y=±
（x+2）．
所以
| (x-1)2+y2 |
即y2=4x．
所以点M的轨迹E的方程y2=4x．
（Ⅱ）设B（x1，y1）C（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，
所以
| AB |
| BC |
由
| AB |
| BC |
| y2 |
| y1 |
| 3 |
| 2 |
| x2 |
| x1 |
| 9 |
| 4 |
设直线AB的方程为y=k（x+2），（k≠0），
|
由根与系数的关系得：x1+x2=
| 4-4k2 |
| k2 |
x1x2=4…③
由①、③得，x1=
| 4 |
| 3 |
| 12 |
| 25 |
所以k=±
2
| ||
| 5 |
所以所求直线方程为y=±
2
| ||
| 5 |
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握根与系数的关系并且熟练的利用向量的有关知识解决问题．
练习册系列答案
相关题目
已知直线l：
（t为参数）与圆C：
（θ为参数），则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是（ ）
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A、
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B、
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C、
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D、
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