Question

已知直线l：

x=2+t y=1-at

（t为参数），与椭圆x²+4y²=16交于A、B两点．
（1）若A，B的中点为P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一个三等分点，求直线l的直角坐标方程．

Answer 1

分析：（1）设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为P（2，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．
（2）根据P（2，1）是弦AB的一个三等分点，得到|AP|=

1

2

|PB|，从而得出

1+a2

|t₁|=2

1+a2

|t₂|，⇒t₁=-2t₂，再利用（1）中得到的方程结合韦达定理解得a的值，从而得出直线l的直角坐标方程．

解答：解：（1）直线l：

x=2+t y=1-at

代入椭圆方程，
整理得（4a²+1）t²-4（2a-1）t-8=0
设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则t₁+t₂=

4(2a-1)

4a2+1

，t₁t₂=

-8

4a2+1

，
∵A，B的中点为P（2，1），∴t₁+t₂=0
解之得a=

1

2

，∴t₁t₂=-4，∵|AP|=

12+(- 1 2 )2

|t1|=

5

2

|t₁|，|BP|=

5

2

|t₂|，
∴|AB|=

5

2

（|t₁|+|t₁|）=

5

2

×

(t1+t2)2-4t1t2

=2

5

，
（2）P（2，1）是弦AB的一个三等分点，∴|AP|=

1

2

|PB|，
∴

1+a2

|t₁|=2

1+a2

|t₂|，⇒t₁=-2t₂，
∴t₁+t₂=-t₂=

4(2a-1)

4a2+1

，t₁t₂=-2t

2 2

=

-8

4a2+1

，
∴t

2 2

=

4

4a2+1

，∴

16(2a-1)2

(4a2+1)2

=

4

4a2+1

，解得a=

4± 7

6

，
∴直线l的直角坐标方程y-1=

4± 7

6

（x-2）．

点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解．