题目内容
【题目】如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形
组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点
），为了固定该设备，计划除从隧道最高点
处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自
两点分别使用钢管支撑.已知道路宽
，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为
.
（1）①设
，将表示为关于
的函数；
②设
，将表示为关于
的函数；
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？
【答案】（1）①
；②
（2）见解析
【解析】
（1）延长
交
于点
，利用解直角三角形可得且.
（2）选取②中的函数关系式，利用导数可求其最小值.
（1）延长交于点，则
，且为的中点，
所以
，由对称性可知，
.
①若
，则
，
，
在
中，
，
所以
，
②若
，则
，
在中，
，
，
所以
，
所以
.
（2）选取②中的函数关系式，，
记
，
则由
及可得，
，
当
时
，此时
单调递减，
当
时
，此时单调递增，
所以当时，取得最小值，
从而钢管总长度为
取得最小值，即所用的钢管材料最省.
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